Integral

INTEGRAL

Anti Turunan ( Integral ) Tak Tentu

Definisi

Kita sebut f suatu anti turunan dari f pada selang I jika Df = f pada I – yakni, jika f’(x) = f(x) untuk semua x dalam I . (jika x suatu titik ujung dari I, f’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi).

Aturan pangkat.

Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka

xr dx = (xr +1 /r + 1) + C

Bukti :

Untuk meyakinkan kita tentang teorema tersebut, kita buat bahwa F(x) (xr +1 /r + 1) + C

dan f(x) = xr. Lalu kita subtitusikan kepada dasar empiris yaitu : f(x) = Dx[f’(x)] dimana f’(x) = F(x). Maka :

f(x) ≡ Dx[F(x)]

f(x) ≡ Dx (xr+1/r+1)

f(x) ≡ Dx [(1/r +1)(xr+1)]

f(x) ≡ (1/r +1)D(xr+1) + (xr+1)D(1/r +1)

f(x) ≡ (1/r +1)(r +1)xr +1-1 + (xr +1)(0) ….NB : r = konstanta

f(x) ≡ (1/r +1)(r +1)xr + 0

f(x) ≡ xr

f(x) ≡ f(x) ,,,,,,,,,,,,,,,,terbukti !

Teorema B

sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C

Teorema C

Kelienearan dari f….dx.

Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka,

1. k f(x) dx = kf(x) dx

2. [ f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx

3. [ f(x) - g(x) ] dx = f(x) dx - g(x) dx

Teorema D

Aturan pangkat yang diperumum.

Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka :

[g(x)]r g(x) dx = [g(x)r+1 /r +1] + C

Contoh soal :

Carilah hasil dari pengintegralan fungsi f(x) = 18x8 – 25x4 + 3x2 !

Penyelesaian :

f(x) = 18x8 – 25x4 + 3x2

f(x) = 18x8 25x4 +3x2

f(x) = 18 x8 – 25 x4 + 3 x2

f(x) = 18(x9/9) – 25(x5/5) + 3(x3/3)

f(x) = (18x9/9) – (25x5/5) + (3x3/3)

f(x) = 2x9 – 5x5 + x3

Jadi, hasil pengintegralan f(x) = 18x8 – 25x4 + 3x2 adalah 2x9 – 5x5 + x3

Pengantar untuk Persamaan Diferensial

Jika f’(x) = f(x) setara dengan df(x) = f(x) dx , maka :

f(x) dx = f(x) + C

d f(x) = f(x) + C

Contoh Soal :

Selesaikan persamaan diferensial berikut dy/dx = 3x2 + 4x – 1 Kemudian cari penyelesaiannya jika x = 5 dan y = 2 !

Penyelesaian :

dy/dx = 3x2 + 4x – 1

(dy/dx)dx = (3x2 + 4x – 1) dx

dy = (3x2 + 4x – 1) dx

dy = (3x2 + 4x – 1) dx

dy = 3x2 dx +4x dx 1 dx

dy = 3 x2 dx + 4 x dx 1 dx

y = 3(x3/3) + 4(x2/2) – 1(x) + C

y = (3 x3/3) + (4x2/2) – x + C

y = x3 + 2x2 – x + C

Maka konstanta yang didapat jika x = 5 dan y = 2, adalah :

y = x3 + 2x2 – x + C

(2) = (5)3 + 2(x)2 – (5) + C

2 = 125 + 2(25) – 5 + C

2 = 125 + 50 – 5 + C

2 = 170 + C

2 – (170) = 170 + C – (170)

-168 = C + 0

C = -168

Maka konstanta yang didapat adalah -168.

<!– /* Font Definitions */ @font-face {font-family:”Bookman Old Style”; panose-1:2 5 6 4 5 5 5 2 2 4; mso-font-charset:0; mso-generic-font-family:roman; mso-font-pitch:variable; mso-font-signature:647 0 0 0 159 0;} @font-face {font-family:Calibri; mso-font-alt:”Century Gothic”; mso-font-charset:0; mso-generic-font-family:swiss; mso-font-pitch:variable; mso-font-signature:-1610611985 1073750139 0 0 159 0;} /* Style Definitions */ p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.MsoNormal {mso-style-parent:””; margin-top:0cm; margin-right:0cm; margin-bottom:10.0pt; margin-left:0cm; line-height:115%; mso-pagination:widow-orphan; font-size:11.0pt; font-family:Calibri; mso-fareast-font-family:Calibri; mso-bidi-font-family:”Times New Roman”; mso-ansi-language:IN;} p.NoSpacing, li.NoSpacing, div.NoSpacing {mso-style-name:”No Spacing”; mso-style-parent:””; margin:0cm; margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:11.0pt; font-family:Calibri; mso-fareast-font-family:Calibri; mso-bidi-font-family:”Times New Roman”; mso-ansi-language:IN;} @page Section1 {size:612.0pt 792.0pt; margin:72.0pt 90.0pt 72.0pt 90.0pt; mso-header-margin:36.0pt; mso-footer-margin:36.0pt; mso-paper-source:0;} div.Section1 {page:Section1;} –>

Published in: on Maret 22, 2009 at 7:19 am  Tinggalkan sebuah Komentar  


v\:* {behavior:url(#default#VML);}
o\:* {behavior:url(#default#VML);}
w\:* {behavior:url(#default#VML);}
.shape {behavior:url(#default#VML);}
<!– /* Font Definitions */ @font-face {font-family:Calibri; panose-1:2 15 5 2 2 2 4 3 2 4; mso-font-charset:0; mso-generic-font-family:swiss; mso-font-pitch:variable; mso-font-signature:-1610611985 1073750139 0 0 159 0;} /* Style Definitions */ p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.MsoNormal {mso-style-parent:””; margin-top:0cm; margin-right:0cm; margin-bottom:10.0pt; margin-left:0cm; line-height:115%; mso-pagination:widow-orphan; font-size:11.0pt; font-family:Calibri; mso-fareast-font-family:Calibri; mso-bidi-font-family:”Times New Roman”; mso-ansi-language:IN;} p.ListParagraph, li.ListParagraph, div.ListParagraph {mso-style-name:”List Paragraph”; margin-top:0cm; margin-right:0cm; margin-bottom:10.0pt; margin-left:36.0pt; mso-add-space:auto; line-height:115%; mso-pagination:widow-orphan; font-size:11.0pt; font-family:Calibri; mso-fareast-font-family:Calibri; mso-bidi-font-family:”Times New Roman”; mso-ansi-language:IN;} p.ListParagraphCxSpFirst, li.ListParagraphCxSpFirst, div.ListParagraphCxSpFirst {mso-style-name:”List ParagraphCxSpFirst”; mso-style-type:export-only; margin-top:0cm; margin-right:0cm; margin-bottom:0cm; margin-left:36.0pt; margin-bottom:.0001pt; mso-add-space:auto; line-height:115%; mso-pagination:widow-orphan; font-size:11.0pt; font-family:Calibri; mso-fareast-font-family:Calibri; mso-bidi-font-family:”Times New Roman”; mso-ansi-language:IN;} p.ListParagraphCxSpMiddle, li.ListParagraphCxSpMiddle, div.ListParagraphCxSpMiddle {mso-style-name:”List ParagraphCxSpMiddle”; mso-style-type:export-only; margin-top:0cm; margin-right:0cm; margin-bottom:0cm; margin-left:36.0pt; margin-bottom:.0001pt; mso-add-space:auto; line-height:115%; mso-pagination:widow-orphan; font-size:11.0pt; font-family:Calibri; mso-fareast-font-family:Calibri; mso-bidi-font-family:”Times New Roman”; mso-ansi-language:IN;} p.ListParagraphCxSpLast, li.ListParagraphCxSpLast, div.ListParagraphCxSpLast {mso-style-name:”List ParagraphCxSpLast”; mso-style-type:export-only; margin-top:0cm; margin-right:0cm; margin-bottom:10.0pt; margin-left:36.0pt; mso-add-space:auto; line-height:115%; mso-pagination:widow-orphan; font-size:11.0pt; font-family:Calibri; mso-fareast-font-family:Calibri; mso-bidi-font-family:”Times New Roman”; mso-ansi-language:IN;} @page Section1 {size:595.3pt 841.9pt; margin:72.0pt 72.0pt 72.0pt 72.0pt; mso-header-margin:35.4pt; mso-footer-margin:35.4pt; mso-paper-source:0;} div.Section1 {page:Section1;} /* List Definitions */ @list l0 {mso-list-id:330723144; mso-list-type:hybrid; mso-list-template-ids:-645652200 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579;} @list l0:level1 {mso-level-tab-stop:none; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt;} ol {margin-bottom:0cm;} ul {margin-bottom:0cm;} –>


/* Style Definitions */
table.MsoNormalTable
{mso-style-name:”Table Normal”;
mso-tstyle-rowband-size:0;
mso-tstyle-colband-size:0;
mso-style-noshow:yes;
mso-style-parent:””;
mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;
mso-para-margin:0cm;
mso-para-margin-bottom:.0001pt;
mso-pagination:widow-orphan;
font-size:10.0pt;
font-family:”Times New Roman”;
mso-ansi-language:#0400;
mso-fareast-language:#0400;
mso-bidi-language:#0400;}

INTEGRAL

Anti Turunan ( Integral ) Tak Tentu

Definisi

Kita sebut f suatu anti turunan dari f pada selang I jika Df = f pada I – yakni, jika f’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (jika x suatu titik ujung dari I, f’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi).

Aturan pangkat.

Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka

Bukti :

Untuk meyakinkan kita tentang teorema tersebut, kita buat bahwa <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> dan <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>. Lalu kita subtitusikan kepada dasar empiris yaitu : f(x) = Dx[f’(x)] dimana f’(x) = F(x). Maka :

…………terbukti !

Teorema B

Teorema C

Kelienearan dari f….dx.

Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka,

1. <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

2. <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

3. <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

Teorema D

Aturan pangkat yang diperumum.

Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka :

Contoh soal :

Carilah hasil dari pengintegralan fungsi <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

Penyelesaian :

Jadi, hasil pengintegralan <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> adalah <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

Pengantar untuk Persamaan Diferensial

Jika f’(x) = f(x) setara dengan df(x) = f(x) dx , maka :

Published in: on Maret 21, 2009 at 9:55 am  Tinggalkan sebuah Komentar  

Penggunaan turunan


v\:* {behavior:url(#default#VML);}
o\:* {behavior:url(#default#VML);}
w\:* {behavior:url(#default#VML);}
.shape {behavior:url(#default#VML);}
<!– /* Font Definitions */ @font-face {font-family:Wingdings; panose-1:5 0 0 0 0 0 0 0 0 0; mso-font-charset:2; mso-generic-font-family:auto; mso-font-pitch:variable; mso-font-signature:0 268435456 0 0 -2147483648 0;} @font-face {font-family:”Cambria Math”; panose-1:2 4 5 3 5 4 6 3 2 4; mso-font-charset:1; mso-generic-font-family:roman; mso-font-format:other; mso-font-pitch:variable; mso-font-signature:0 0 0 0 0 0;} @font-face {font-family:Calibri; panose-1:2 15 5 2 2 2 4 3 2 4; mso-font-charset:0; mso-generic-font-family:swiss; mso-font-pitch:variable; mso-font-signature:-1610611985 1073750139 0 0 159 0;} /* Style Definitions */ p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.MsoNormal {mso-style-unhide:no; mso-style-qformat:yes; mso-style-parent:””; margin-top:0cm; margin-right:0cm; margin-bottom:10.0pt; margin-left:0cm; line-height:115%; mso-pagination:widow-orphan; font-size:11.0pt; font-family:”Calibri”,”sans-serif”; mso-fareast-font-family:Calibri; mso-bidi-font-family:”Times New Roman”; mso-fareast-language:EN-US;} p.MsoNoSpacing, li.MsoNoSpacing, div.MsoNoSpacing {mso-style-priority:1; mso-style-unhide:no; mso-style-qformat:yes; mso-style-parent:””; margin:0cm; margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:11.0pt; font-family:”Calibri”,”sans-serif”; mso-fareast-font-family:Calibri; mso-bidi-font-family:”Times New Roman”; mso-fareast-language:EN-US;} p.MsoListParagraph, li.MsoListParagraph, div.MsoListParagraph {mso-style-priority:34; mso-style-unhide:no; mso-style-qformat:yes; margin-top:0cm; margin-right:0cm; margin-bottom:10.0pt; margin-left:36.0pt; mso-add-space:auto; line-height:115%; mso-pagination:widow-orphan; font-size:11.0pt; font-family:”Calibri”,”sans-serif”; mso-fareast-font-family:Calibri; mso-bidi-font-family:”Times New Roman”; mso-fareast-language:EN-US;} p.MsoListParagraphCxSpFirst, li.MsoListParagraphCxSpFirst, div.MsoListParagraphCxSpFirst {mso-style-priority:34; mso-style-unhide:no; mso-style-qformat:yes; mso-style-type:export-only; margin-top:0cm; margin-right:0cm; margin-bottom:0cm; margin-left:36.0pt; margin-bottom:.0001pt; mso-add-space:auto; line-height:115%; mso-pagination:widow-orphan; font-size:11.0pt; font-family:”Calibri”,”sans-serif”; mso-fareast-font-family:Calibri; mso-bidi-font-family:”Times New Roman”; mso-fareast-language:EN-US;} p.MsoListParagraphCxSpMiddle, li.MsoListParagraphCxSpMiddle, div.MsoListParagraphCxSpMiddle {mso-style-priority:34; mso-style-unhide:no; mso-style-qformat:yes; mso-style-type:export-only; margin-top:0cm; margin-right:0cm; margin-bottom:0cm; margin-left:36.0pt; margin-bottom:.0001pt; mso-add-space:auto; line-height:115%; mso-pagination:widow-orphan; font-size:11.0pt; font-family:”Calibri”,”sans-serif”; mso-fareast-font-family:Calibri; mso-bidi-font-family:”Times New Roman”; mso-fareast-language:EN-US;} p.MsoListParagraphCxSpLast, li.MsoListParagraphCxSpLast, div.MsoListParagraphCxSpLast {mso-style-priority:34; mso-style-unhide:no; mso-style-qformat:yes; mso-style-type:export-only; margin-top:0cm; margin-right:0cm; margin-bottom:10.0pt; margin-left:36.0pt; mso-add-space:auto; line-height:115%; mso-pagination:widow-orphan; font-size:11.0pt; font-family:”Calibri”,”sans-serif”; mso-fareast-font-family:Calibri; mso-bidi-font-family:”Times New Roman”; mso-fareast-language:EN-US;} .MsoChpDefault {mso-style-type:export-only; mso-default-props:yes; font-size:10.0pt; mso-ansi-font-size:10.0pt; mso-bidi-font-size:10.0pt; mso-ascii-font-family:Calibri; mso-fareast-font-family:Calibri; mso-hansi-font-family:Calibri;} @page Section1 {size:595.3pt 841.9pt; margin:72.0pt 72.0pt 72.0pt 72.0pt; mso-header-margin:35.45pt; mso-footer-margin:35.45pt; mso-paper-source:0;} div.Section1 {page:Section1;} /* List Definitions */ @list l0 {mso-list-id:1443231; mso-list-type:hybrid; mso-list-template-ids:57685416 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579;} @list l0:level1 {mso-level-tab-stop:none; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt;} @list l1 {mso-list-id:75441022; mso-list-type:hybrid; mso-list-template-ids:95072394 69271553 69271555 69271557 69271553 69271555 69271557 69271553 69271555 69271557;} @list l1:level1 {mso-level-number-format:bullet; mso-level-text:; mso-level-tab-stop:none; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt; font-family:Symbol;} @list l2 {mso-list-id:174537123; mso-list-type:hybrid; mso-list-template-ids:-1555516912 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579;} @list l2:level1 {mso-level-tab-stop:none; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt;} @list l3 {mso-list-id:481432920; mso-list-type:hybrid; mso-list-template-ids:-1315306276 69271579 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579;} @list l3:level1 {mso-level-number-format:roman-lower; mso-level-tab-stop:none; mso-level-number-position:right; text-indent:-18.0pt;} @list l4 {mso-list-id:595594632; mso-list-type:hybrid; mso-list-template-ids:-1340677818 69271575 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579;} @list l4:level1 {mso-level-number-format:alpha-lower; mso-level-text:”%1\)”; mso-level-tab-stop:none; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt;} @list l5 {mso-list-id:598179536; mso-list-type:hybrid; mso-list-template-ids:-1555516912 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579;} @list l5:level1 {mso-level-tab-stop:none; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt;} @list l6 {mso-list-id:662047605; mso-list-type:hybrid; mso-list-template-ids:-1652118132 -1827877804 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579;} @list l6:level1 {mso-level-tab-stop:none; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt;} @list l7 {mso-list-id:824277925; mso-list-type:hybrid; mso-list-template-ids:-374602036 -1827877804 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579;} @list l7:level1 {mso-level-tab-stop:none; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt;} @list l8 {mso-list-id:951671417; mso-list-type:hybrid; mso-list-template-ids:-1635616166 1854155518 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579;} @list l8:level1 {mso-level-tab-stop:none; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt;} @list l8:level2 {mso-level-number-format:alpha-lower; mso-level-tab-stop:none; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt;} @list l9 {mso-list-id:1004478976; mso-list-type:hybrid; mso-list-template-ids:-781311596 21679028 69271555 69271557 69271553 69271555 69271557 69271553 69271555 69271557;} @list l9:level1 {mso-level-start-at:0; mso-level-number-format:bullet; mso-level-text:-; mso-level-tab-stop:none; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt; font-family:”Calibri”,”sans-serif”; mso-fareast-font-family:Calibri; mso-bidi-font-family:”Times New Roman”;} @list l10 {mso-list-id:1397164208; mso-list-type:hybrid; mso-list-template-ids:1557448996 -1827877804 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579;} @list l10:level1 {mso-level-tab-stop:none; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt;} @list l11 {mso-list-id:1976912261; mso-list-type:hybrid; mso-list-template-ids:2006874842 -1827877804 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579;} @list l11:level1 {mso-level-tab-stop:none; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt;} @list l12 {mso-list-id:2080974867; mso-list-type:hybrid; mso-list-template-ids:510721790 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579;} @list l12:level1 {mso-level-tab-stop:none; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt;} @list l13 {mso-list-id:2117483103; mso-list-type:hybrid; mso-list-template-ids:-1025845504 -1827877804 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579 69271567 69271577 69271579;} @list l13:level1 {mso-level-tab-stop:none; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt;} ol {margin-bottom:0cm;} ul {margin-bottom:0cm;} –>
/* Style Definitions */
table.MsoNormalTable
{mso-style-name:”Table Normal”;
mso-tstyle-rowband-size:0;
mso-tstyle-colband-size:0;
mso-style-noshow:yes;
mso-style-priority:99;
mso-style-qformat:yes;
mso-style-parent:””;
mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;
mso-para-margin:0cm;
mso-para-margin-bottom:.0001pt;
mso-pagination:widow-orphan;
font-size:10.0pt;
font-family:”Calibri”,”sans-serif”;}

PENGGUNAAN TURUNAN

Maksimum dan Minimum

Definisi :

Andaikan S merupakan daerah asal f yang memuat titik c, maka :

- Jika f(c) ≥ f (x), maka memiliki nilai maksimum, x untuk semua titik di S

- Jika f(c) ≤ f (x), maka memiliki nilai minimum, x untuk semua titik di S

- Jika f(c) memiliki nilai maksimum / minimum, maka f(c) dikatakan memiliki nilai ekstrim

Teorema Eksistensi Maks – Min

Jika F kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum sekaligus.

Teorema Titik Kritis

Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c.

Jika f(c) adalah titk ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis. Dengan c dapat berupa :

- Titik ujung dari I, jika f(c) = ada

- Titik stasioner dari f, dengan f’(c) = 0

- Titik singular dari f, dengan f’(c) = ada

Bukti

*Untuk f(c) adalah nilai maksimum f pada I, dan c bukanlah nilai titik ujung ataupun titik singular, maka c merupakan titik stasioner.

Karena f(c) merupakan nilai maksimum dari f pada I, maka :

1. <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

2. <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

Sehingga : <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

*Untuk f(c) adalah nilai minimum f pada I, dan c bukanlah nilai titik ujung ataupun titik singular, maka c merupakan titik stasioner.

Karena f(c) merupakan nilai minimum f pada I, maka :

1. <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

2. <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

Sehingga : <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

Contoh grafik titik kritis :

Prosedur sederhana umtuk menghitung nilai maksimum atau minimum :

Langkah 1 : carilah titik kritis dari f pada I

Langkah 2 : Hitunglah f pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.

Contoh soal :

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari dengan selang tertutup [-2,6] !

Penyelesaian :

= (-8) – 16 + 6

= – 18

= 216 – 144 – 18 + 2

= 56

,, dan

Maka :

=

=

=

= -16

Maka nilai maksimum dan minimumnya adalah : 56 dan -18

Kemonotonan dan Kecekungan

· Kemonotonan

Definisi :

Andaikan f terdefinisi pada selang I ( terbuka, tertutup, ataupun tak satu pun ). Kita katakan bahwa :

i. F adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

ii. F adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

iii. F monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.

Teorema Kemonotonan :

Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I.

1. Jika <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.

2. Jika <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I.

Contoh grafik teorema kemonotonan :

· Kecekungan

Definisi :

Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I = (a,b). Jika f’ naik pada I, f (dan grafiknya) cekung ke atas. Dan jika f’ turun pada I, f cekung ke bawah.

Teorema kecekungan

Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b) :

1. Jika <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).

2. Jika <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).

Contoh grafik teorema kecekungan :

Comtoh soal :

Jika terdapat grafik dengan fungsi , tentukan dimana f naik dan dimana f turun !

Penyelesaian :

= ,, dan

Lalu di buat dalam garis bilangan :

+ - +

___,____________,____

Maka grafik f akan naik pada selang dan turun pada selang

Maksimum dan minimum lokal

Definisi :

Andaikan S daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa :

1. F(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b)<!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> S.

2. F(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b)<!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> S.

3. F(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal ataupun minimum lokal.

Contoh grafik maksimum dan minimum lokal :

Uji turunan pertama untuk nilai ekstrim lokal :

Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c :

1. Jika <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> untuk semua x dalam (a,c) dan <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal.

2. Jika <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> untuk semua x dalam (a,c) dan <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal.

3. Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Bukti

*Untuk nilai maksimum lokal yang memiliki

1. f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c), menunjukan bahwa f naik pada (a,c]

2. f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), menunjukan bahwa f turun pada [c,b)

Sehingga : <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

*Untuk nilai maksimum lokal yang memiliki

1. f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c), menunjukan bahwa f turun pada (a,c]

2. f’(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b), menunjukan bahwa f naik pada [c,b)

Sehingga : <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

*Untuk dimana f(c) bukan nilai ekstrim lokal f, jika F’(x) pada c bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f. Karena f(x) akan membentuk sebuah garis lurus, bukan sebuah kurfa.

Contoh grafik teorema ujia turunan pertama untuk nilai ekstrim lokal :

Uji turun ke dua untuk nilai ekstrim lokal :

1. Jika <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> adalah nilai maksimum f.

2. Jika <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> adalah nilai minimum f.

Bukti :

Kita ambil beberapa titik myang mendekati c. Tetapi dikarenakan titik tersebut bisa dimana saja, maka kita pakai fungsi limit sebagai dasar hipotesisnya. Fungsi limit tersebut berupa :

Dengan begitu dapat kita simpulkan bahwa terdapat selang (a,b) disekitar c maka a<c<b. Dan dengan adanya f’(x) yang memiliki ketentuan nf(x) > 0 maka a<x<c dan f’(x) < 0 untuk c<x<b. Sehingga f(c) merupakan nilai maksimum lokal.

Contoh soal :

Untuk , gunakan uji turunan ke dua untuk mengenali nilai ekstrim lokal !

Penyelesaian :

,,, maka

Jadi dan karena itu menurut uji turunan ke dua, adalah nilai minimum lokal.

Lebih Banyak Maksimum dan Minimum

Langkah Umum yang biasa dipakai dalam masalah maks-min terapan :

Langkah 1. Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel – variabel yang sesuai untuk besaran – besaran kunci.

Langkah 2. Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan/diminimumkan dalam bentuk variabel – variabel tersebut.

Langkah 3. Gunakan kondisi – kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variabel – variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variabel miasalnya x.

Langkah 4. Tentukan himpunan nilai – nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang.

Langkah 5. Tentukan titik – titik kritis (titik ujung, titikn stasioner, titik singular). Paling sering, titik – titik kritis kunci berupa titik – titik stasioner dimana <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> = 0.

Langkah 6. Gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberikan maksimum/minimum.

NB : Adakalanya dalam menyelesaikan suatu permasalahan maks-min, kita harus menghilangkan beberapa langkah umum.

Contoh soal :

Carilah nilai maksimum atau minimum dari pada selang !

Penyelesaian :

= ,,,maka

= 64 – 96

= 32

Maka fungsi f memiliki nilai minimum yaitu -32.

Penerapan Ekonomik

Dalam ekonomi, kita akan menngenal istilah – istilah seperti harga, pendapatan total, biaya total, biaya tetap, dan biaya variabel.

Konsep dasar penerapan ekonomi dalam matematika yaitu :

Keterangan : <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> = laba

<!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> = pendapatan

<!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> = biaya

<!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> = harga

Contoh Soal :

Dalam memproduksi dan menjual x satuan komoditi tertentu, terdapat fungsi harga p dan fungsi biaya C (Dalam ribuan rupiah) :

p(x) =

C(x) =

Cari persamaan fungsi untuk mengungkapkan pendapatan marginal, biaya marginal, dan keuntungan marginal !

Penyelesaian :

*Pendapatan marginal :

R = xp(x)

= x(13,00 + 0,005)

=

Pendapatan marginal =

=

*Biaya marginal :

=

=

*Keuntungan marginal :

P = R(x) – C(x)

= - ()

=

=

Keuntungan marginal :

=

Limit Ketakhinggaan, Limit Tak Hingga

Definisi :

· Limit bila <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

Andaikan f terdefinisi pada <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> untuk suatu bilangan c. Kita katakan bahwa <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> jika untuk masing – masing <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga

· Limit bila <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

Andaikan f terdefinisi pada <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> untuk suatu bilangan c. Kita katakan bahwa <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> jika untuk masing – masing <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga

Definisi

Limit – limit tak terhingga :

Kita katakan bahwa <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>jika untuk setiap bilangan positif M, berpadanan suatu <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> sedemikian sehingga:

Contoh grafik limit

Untuk menentukan apakah suatu titik x = c dari grafik fungsi f(x) = y, memiliki asimtot vertikal atau tidak, kita dapat memeriksanya jika salah satu pernyataan berikut benar :

1. <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

2. <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

3. <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

4. <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

Untuk menentukan apakah suatu titik x = c dari grafik fungsi f(x) = y, memiliki asimtot horizontal atau tidak, kita dapat memeriksanya jika salah satu pernyataan berikut benar :

<!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> atau <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

Contoh soal :

Carilah hasil dari !

Penyelesaian :

Penggambaran Grafik Canggih

Metode penggambaran grafik canggih :

Langkah 1 : Buatlah analisis pendahuluan sebagai berikut :

a) Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan.

b) Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (Apakah fungsi genap ataukah fungsi ganjil ?)

c) Cari perpotongan dengan sumbu – sumbu koordinat.

d) Gunakan turunan pertama untuk mencari titik – titik kritis dan untuk mengetahui tempatm – tempat grafik naik dan turun.

e) Uji titik – titik kritis untuk maksimum dan minimum lokal.

f) Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat – tempat grafik cekung keatas dan untuk melokasikan titik – titik balik.

g) Cari asimtot – asimtot.

Langkah 2 : Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik)

Langkah 3 : Sketsa grafik.

Contoh Soal :

Gambarkan grafik dari fungsi f(x) = !

Penyelesaian :

,,

Subtitusi :

Maka titik – titik adalah (0,0), (-2,0), (2,0)

Maka f adalah fungsi ganjil.

,, 1,2

Subtitusi :

Maka titik- titiknya adalah (-1,2 , 1,5) dan (1,2 ,-1,5)

,,x = 0

Teorema nilai rata - rata

Teorema nilai rata – rata sebenarnya lebih digunakan untuk membuktikan sebuah teorema penting yang dibiarkan mengantung pada bahasan kemonotonan dan kecekungan.

Contoh grafik nilai rata – rata

Teorema nilai rata – rata untuk turunan

Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdiferensial pada titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana :

Atau secara setara, dimana :

Bukti

*Sandaran analisis ; dimana f merupakan nilai pada s dan g, maka didapat :

*Jika g(x) = y adalah persamaan garis yang melalui (a,f(a)) dan (b,f(b)), maka dengan mensubtitusinya kedalam rumus gradien/kemiringan garis : <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> akan dihasilkan

<!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

<!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

*lalu kita kembali kesandaran analisis :

Dan kita subtitusi kedalam rumusan :<!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>

*Perhatikan bahwa s(b) = s(a) = 0, dan jika kita jadikan persamaan diatas kedalam bentuk turunan pertama,maka akan didapat :

*Setelah kita dapatkan persamaan tersebut, kita ambil suatu bilangan c yang terdapat dalam (a,b). Dimana s(c) merupakan suatu konstanta sehingga s’(c) = 0. Dan jika kita subtitusikan ke dalam persamaan di atas maka akan kita dapat :

*lalu kedua ruas kita kalikan dengan <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>), mka kita dapatkan :

Teorema B

Jika f’(x) = g(x) untuk semua x dalam (a,b) maka terdapat konstanta c sedemikian sehingga

Untuk semua x dalam (a,b)

Bukti :

Andaikan : <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> maka, <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> untuk semua x dalam (a,b). Setelah kita menemukan titik x1 sebagai titik ujung selang tertutup. Maka dengan begitu terdapat bilangan c diantara x dan x1. Jika titik – titik tersebut disubtitusikan terhadap teorema nilai rata – rata, maka akan kita dapat :

Karena h(c) merupakan suatu konstanta, maka h’(c) adalah 0. Dan jika kita subtitusikan, maka kita akan mendapat :

Lalu subtitusikan kepersamaan awal <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–> kedalam persamaan <!–[if supportFields]> QUOTE <![endif]–><!–[if supportFields]><![endif]–>. Dan karena h(x1) merupakan sebuah konstanta, maka kita lambangkan dengan huruf “C”. Maka kita akan mendapatkan :

Contoh soal :

Andaikan kontinu pada selang tertutup [0,5]. Cari semua bilangan c yang memenuhi kesimpulan terhadap teorema rata – rata !

Penyelesaian :

pada [0,5]

dan

Subtitusi :

Maka c = atau 3

Published in: on Maret 14, 2009 at 9:09 am  Tinggalkan sebuah Komentar  

Hello world!

Welcome to WordPress.com. This is your first post. Edit or delete it and start blogging!

Published in: on Maret 6, 2009 at 7:46 am  Comments (1)  
Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.